Question

【题目】已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝mx－ (m为实数).

(1)求曲线y＝f(x)在点处的切线方程；

(2)求函数g(x)的单调递减区间；

(3)若m＝1，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)＋.

Answer 1

【答案】（1）x－y＋1－＝0（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数,求出得到切线的斜率，求出的值，求得切点坐标,由直线方程的点斜式得到切线方程；(2)求出函数的导函数,然后讨论和分析导函数的符号,从而求得的单调递减区间；(3)分别构造函数,

然后利用其导函数的符号判断所构造函数的单调性,从而证明答案.

试题解析：(1)解　由题意得所求切线的斜率k＝f′＝cos＝.切点P，则切线方程为y－＝.即x－y＋1－＝0.

(2)解　g′(x)＝m－x2.

①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；

②当m＞0时，令g′ (x)＜0，解得x＜－或x＞，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞).

(3)证明　当m＝1时，g(x)＝x－ .

令h(x)＝g(x)＋ －f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，

h′(x)＝1－cos x≥0，则h(x)是[0，＋∞)上的增函数.

故当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，

即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋ .

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想的应用，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.