Question

已知向量，，且．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设曲线与直线相交于不同的两点，又点，当时，求实数的取值范围．

Answer 1

(1).(2)当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是.

解析试题分析：(1)由题意得，，
，计算并化简得.
(2)由得，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即.
讨论当时，得所求的的取值范围是；
当时，得m的取值范围是.
(1)由题意得，，
∵，∴，
化简得，∴点的轨迹的方程为.    4分
(2)由得，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即.①  6分
(i)当时，设弦的中点为，分别为点的横坐标，则，
从而，，     8分
又，∴.
则，即，  ②
将②代入①得，解得，由②得，解得，
故所求的的取值范围是.                           10分
(ii)当时，，∴，，
解得.                                         12分
综上，当时，m的取值范围是，
当时，m的取值范围是.                          13分
考点：平面向量的数量积，椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系.