Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，SD=AD，DF⊥SB垂足为F，E是SD的中点．
（Ⅰ）证明：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面DEF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定证明SA∥平面BDE，连接AC，AC∩BD=O，利用三角形的中位线，证明EO∥SA即可；
（Ⅱ）先证明DE⊥面SBC，可得DE⊥SB，利用DF⊥SB，DE∩DF=D，可证SB⊥平面DEF，利用面面垂直的判定可得结论．

解答：证明：（Ⅰ）连接AC，AC∩BD=O，连接OE，则O为AC的中点

∵E是SD的中点，∴EO∥SA
∵SA?平面BDE，EO?平面BDE
∴SA∥平面BDE；
（Ⅱ）∵E是SD的中点，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，SD=AD，
∴DE⊥SC，BC⊥DE
∵SC∩BC=C
∴DE⊥面SBC
∵SB?面SBC
∴DE⊥SB
∵DF⊥SB，DE∩DF=D
∴SB⊥平面DEF
∵SB?平面SBD
∴平面SBD⊥平面DEF．

点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，解题的关键是掌握线面平行、面面垂直的判定方法，属于中档题．