Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBC；
（2）求证：PB∥平面AEC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD∥BC，AD⊥CD，

∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC平面PBC，PB平面PBC，BC∩PB=B，

∴CD⊥平面PBC，

又CD平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PBC

（2）证明：连结BD交AC于O，连结EO．

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∴ ，

又PE=2ED，即 ，

∴OE∥PB，

∵OE平面EAC，PB平面EAC，

∴PB∥平面AEC．

【解析】（1）由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；（2）连结BD交AC于O，连结EO．利用三角形相似得出 ，从而得到OE∥PB，得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握平面与平面平行的判定(判断两平面平行的方法有三种:用定义；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行)的相关知识才是答题的关键．