【题目】如图是一个“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中是过抛物线的两条互相垂直的弦(点在第二象限),且交于点,点为轴上一点,,其中为锐角
(1)设线段的长为,将表示为关于的函数
(2)求“蝴蝶形图案”面积的最小值,并指出取最小值时的大小
【答案】(1)(2)“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
【解析】
(1)过点作轴于点,,在中利用三角函数的定义可得,,即点的坐标为,代入抛物线的方程,可得关于的函数.
(2)由题意结合图形,可由逆时针旋转得到,即可得到关于的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积关于的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值.
(1)过点作轴于点,
在中,
即:,
由此可得点的坐标为
点是抛物线上的点,将其代入可得:
,即:
解得:
故:
表示为关于的函数为:
(2)根据(1)得: 表示为关于的函数为:
由题意可知:
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.
, ,
设“蝴蝶形图案”面积为:
令:
为锐角
则 可得:
则,
故时, 即:
化简为: (为锐角)解得:
综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.
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【题目】已知抛物线的焦点为,为轴上的点.
(1)当时,过点作直线与相切,求切线的方程;
(2)存在过点且倾斜角互补的两条直线,,若,与分别交于,和,四点,且与的面积相等,求实数的取值范围.
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【题目】某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y与投资x成正比,其关系如图甲,B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比,其关系如图乙注:利润与投资单位为万元
分别将A,B两种产品的利润y表示为投资x的函数关系式;
该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少万元?
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【题目】据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.
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【题目】在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中,有实数根,;
(3);
(4);
(5).
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【题目】判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数的平方是正数;
(4)梯形的对角线相等
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【题目】下列命题中:
①若函数的定义域为,则一定是偶函数;
②若是定义域上奇函数,,都有,则的图像关于直线对称;
③已知,是函数的定义域内的任意两个值,且,若,则是定义域减函数;
④已知是定义在上奇函数,且也为奇函数,则是以4为周期的周期函数。
其中真命题的有_____________
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【题目】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交;
(2)每个二次函数的图象都是轴对称图形;
(3)存在一个三角形,它的内角和小于180°;
(4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.
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