Question

已知椭圆C的焦点在x轴，焦距为2

3

，F₁，F₂是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求此椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线y=x+

5

与椭圆C有且仅有一个公共点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆C的焦点在x轴，焦距为2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4，求出几何量，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）直线y=x+

5

与椭圆联立，消去y整理得一元二次方程，利用判别式为0，可得结论．

解答：（Ⅰ）解：设椭圆方程为

x 2

a2

+

y 2

b2

=1（a＞b＞0）
∴焦距为2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4
∴2c=2

3

，2a=4
∴c=

3

，a=2
∵b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为

x 2

4

+y2=1；
（Ⅱ）证明：联立

y=x+ 5 x2 4 +y2=1

，消去y整理得5x2+8

5

x+16=0
∵△=(8

5

)2-4×5×16=0
∴直线y=x+

5

与椭圆C有且仅有一个公共点．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．