Question

现有一个由长半轴为2，短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180°所形成的“橄榄球面”．已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面，则这个圆柱的侧面积的最大值是________．

Answer 1

4π
分析：由题意作出截面图，建立直角坐标系后得到椭圆的标准方程，再设出圆柱面与橄榄球面的一个切点，该切点的横纵坐标与圆柱的底面半径和母线长有关系，利用点在椭圆上得出点的横纵坐标的关系，利用不等式可以求得ab的最大值，把圆柱的侧面积用含有ab的代数式表示后得到最大值．
解答：由题意作截面图如图，

在图中坐标系下，设圆柱与橄榄球面在第一象限内的切点为P（a，b）（a＞0，b＞0），
则椭圆方程为．
因为P在椭圆上，所以．
所以．
当且仅当，即时“=”成立．
而圆柱的底面半径等于b，母线长等于2a，
所以圆柱的侧面积S=4πab．则S的最大值等于4π．
故答案为4π．
点评：本题考查了椭圆的运用，考查了利用基本不等式求最值，体现了数形结合的解题思想，属中档题．