Question

（2013•黄冈模拟）定义：函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)f(x2)

=c （其中c为常数）成立，则称函数f（x）在D上的几何均值为c则 下列函数在其定义域上的“几何均值”可以为2的是（　　）

A．y=x²+1

B．y=sinx+3

C．y=e^x（e为自然对数的底）

D．y=|lnx|

Answer 1

分析：根据所给的新定义，对选项进行一一判断，即可得到答案．

解答：解：根据对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，存在定义域内的唯一一个自变量x₂，使得成立的函数满足

f(x1)f(x2)

=2，
对于选项A，y=x²+1，当x₁=0时，存在x₂=±

3

使得

f(x1)f(x2)

=2，故不符合题意；
对于选项B，y=sinx+3，当x₁=0时，不存在x₂使得

f(x1)f(x2)

=2，故不符合题意；
对于选项C，y=ex（e为自然对数的底）满足对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，存在定义域内的唯一一个自变量x₂，使得成立的函数满足

f(x1)f(x2)

=2，故C正确；
对于选项D，y=|lnx|，当x₁=1时，存在x₂=e³，或x₂=e-³使得

f(x1)f(x2)

=2，故不符合题意；
综上所述，在其定义域上的“几何均值”可以为2的是选项C．
故选C．

点评：此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．属于难题．