Question

11．若函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x在（a，17-a²）上有最大值，则实数a的取值范围是（-4，1）．

Answer 1

分析 求函数的导数，求出函数的极值，根据函数在开区间内的最值性，得到在（a，17-a²）内存在极大值即可得到结论．

解答 解：函数的导数f′（x）=-x²+1，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，此时函数单调递减，
即当x=1时函数取得极大值，
当x=-1时，函数取得极小值，
若f（x）在（a，17-a²）上有最大值，
则函数f（x）在在（a，17-a²）上不单调，且在（a，17-a²）内存在极大值，
即1∈（a，17-a²），
则$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{17-{a}^{2}＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{{a}^{2}＜16}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{-4＜a＜4}\end{array}\right.$，解得-4＜a＜1，
故答案为：（-4，1）

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据函数极值和最值的关系，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．