Question

7．已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求证f（x）是奇函数；
（Ⅱ）求证：f（x）在R上是减函数；
（Ⅲ）求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论．；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；  
（Ⅲ）利用单调性和奇偶性的关系，求函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）令y=0，则由条件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0    
∵f（0）=0，∴令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设x₁＜x₂，则设x₂-x₁＞0，此时f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，则f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）的单调递减；         
 （Ⅲ）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数在[-4，4]上单调递减，
∵f（1）=-$\frac{1}{4}$．
∴f（2）=2f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（4）=2f（2）=2×$（-\frac{1}{2}）$=-1，
则函数的最小值为f（4）=-1，函数的最大值为f（-4）=-f（4）=1．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．