Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程

x=2cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数），曲线C₂的参数方程

x= 2 2 t y= 2 2 t+ 2

（为t参数），且曲线C₁与C₂相交于A，B两点．
（Ⅰ）求C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）若点F（

2

，0），求△FAB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将曲线C₁的参数方程

x=2cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数），变为

x

2

=cosθ，

y

2

=sinθ，平方相加即可消去参数θ化为普通方程；由曲线C₂的参数方程

x= 2 2 t y= 2 2 t+ 2

（为t参数），将第一个方程代入第二个方程即可消去参数t化为普通方程．
（Ⅱ）将两曲线的方程联立解得交点的坐标，再利用两点间的距离公式即可求得弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可求得三角形的高，利用面积公式求出即可．

解答：解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程

x=2cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数），消去参数θ得到曲线C₁普通方程

x2

4

+

y2

2

=1；
∵曲线C₂的参数方程

x= 2 2 t y= 2 2 t+ 2

（为t参数），消去参数t得到曲线C₂的普通方程y=x+

2

．
（Ⅱ）联立方程

x2 4 + y2 2 =1 y=x+ 2

 消去y得到关于x的方程3x2+4

2

x=0，解得x₁=0，x2=-

4 2

3

．
将x₁=0代入方程y=x+

2

，得y1=

2

，∴A（0，

2

）
同理由x2=-

4 2

3

，得到y2=-

2

3

．∴B(-

4 2

3

，-

2

3

)．
由两点间的距离公式得|AB|=

(- 4 2 3 -0)2+(- 2 3 - 2 )2

=

8

3

．
又点F(

2

，0)到直线y=x+

2

的距离d=

| 2 -0+ 2 |

12+12

=2，
∴S_△FAB=

1

2

d×|AB|=

1

2

×2×

8

3

=

8

3

．

点评：本题考查了将参数方程化为普通方程及直线与圆锥曲线相交弦长及求三角形的面积问题，掌握方法和正确计算是解题的关键．