Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且前n项之和S_n满足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n=2an的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，由已知可求a₁，当n≥2时，由a_n=s_n-s_n-1可得a_n-a_n-1=3，结合等差数列的通项公式可求a_n，然后代入检验是否满足a42=a₂•a₉成立，即可
（2）由（1）可求b_n=2^3n-2，由等比数列的求和公式可求

解答：解（1）当n=1时，由题意可得6a₁=a12+3a1+2
∴a₁=1或a₁=2
当n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
两式相减可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0
由题意可得，a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=3
当a₁=1时，a_n=3n-2，此时a42=a₂•a₉成立
当a₁=2时，a_n=3n-1，此时a42=a₂•a₉不成立
故a_n=3n-2，
（2）∵b_n=2^3n-2，是以公比q=8的等比数列，
∴数列的前n项和为Tn=

2(1-8n)

1-8

=

2

7

(8n-1)

点评：本题主要考查了数列的递推公式n≥2时，a_n=s_n-s_n-1在数列通项公式的求解中的应用，等差数列的通项公式及等比数列的性质及求和公式的综合应用