Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．
（Ⅰ）若A=

3π

8

，试求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为

3

，且tanC+

2csinA

a

=0，求a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理，化简acosA=bcosB，可得a=b或c²=a²+b²，结合A=

3π

8

，可求角B的大小；
（Ⅱ）由tanC+

2csinA

a

=0，及正弦定理可得cosC=-

1

2

，从而可知△ABC必为等腰三角形，且A=B=

π

6

，利用三角形的面积，即可求a．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理及acosA=bcosB可得a•

b2+c2-a2

2bc

=b•

a2+c2-b2

2ac

，
所以a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²），
即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），
所以（a²-b²）（c²-a²-b²）=0，
所以a=b或c²=a²+b²．
若a=b，则B=A=

3π

8

；若c²=a²+b²，则C=

π

2

，B=

π

2

-

3π

8

=

π

8

．
综上可知，B=

3π

8

或

π

8

．（6分）
（Ⅱ）由tanC+

2csinA

a

=0，及正弦定理可得

sinC

cosC

+2sinC=0，
而sinC＞0，所以cosC=-

1

2

，所以C=

2π

3

．
由（Ⅰ）可知△ABC必为等腰三角形，且A=B=

π

6

，
故△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

a²•

3

2

=

3

，
所以a=2．（12分）

点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，考查三角形的面积，正确运用正弦、余弦定理是关键．