Question

2．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{x}$，若不等式f（x）＜x在区间[c，+∞）（c为正常数）上恒成立，则实数a的取值范围为$\left\{\begin{array}{l}{a＜2\sqrt{2}\\;0＜c＜\sqrt{2}}\\{a＜c+\frac{2}{c}\\;c≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 不等式可整理为a＜$\frac{2}{x}$+x，构造函数求出g（x）=$\frac{2}{x}$+x的最小值即可．

解答 解：f（x）＜x恒成立，
∴a＜$\frac{2}{x}$+x，
令g（x）=$\frac{2}{x}$+x，
当0＜c＜$\sqrt{2}$时，g（x）≥2$\sqrt{2}$，
∴a＜2$\sqrt{2}$；
当c≥$\sqrt{2}$时，
g（x）≥c+$\frac{2}{c}$，
∴a＜c+$\frac{2}{c}$，
故a的范围为$\left\{\begin{array}{l}{a＜2\sqrt{2}\\;0＜c＜\sqrt{2}}\\{a＜c+\frac{2}{c}\\;c≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 考查了恒成立问题和抽象函数g（x）=$\frac{2}{x}$+x的最小值讨论问题．