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15.已知数列{an}满足$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}$=$\frac{{a}_{n}}{4({a}_{n}-4)}$,且a1=8.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Sn为数列{$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$}的前n项和,证明:Sn<2.

分析 (1)推导出$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}$=$\frac{1}{{a}_{n}-4}+\frac{1}{4}$,从而得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}-4}$}是以$\frac{1}{4}$为首项,以$\frac{1}{4}$为公差的等差数列,由此能求出数列{an}的通项公式.
(2)由$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4n+4}{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$=2($\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$),利用裂项求和法能证明Sn<2.

解答 解:(1)∵数列{an}满足$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}$=$\frac{{a}_{n}}{4({a}_{n}-4)}$,且a1=8,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}$=$\frac{{a}_{n}}{4({a}_{n}-4)}$=$\frac{\frac{1}{4}({a}_{n}-4+4)}{{a}_{n}-4}$
=$\frac{1}{4}(1+\frac{4}{{a}_{n}-4})$=$\frac{1}{{a}_{n}-4}+\frac{1}{4}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}-\frac{1}{{a}_{n}-4}=\frac{1}{4}$,
又$\frac{1}{{a}_{1}-4}=\frac{1}{8-4}=\frac{1}{4}$,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-4}$}是以$\frac{1}{4}$为首项,以$\frac{1}{4}$为公差的等差数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}-4}$=$\frac{1}{4}+(n-1)×\frac{1}{4}$=$\frac{n}{4}$,
∴an-4=$\frac{4}{n}$,∴an=$\frac{4n+4}{n}$,
n=1时,a1=$\frac{4×1+4}{1}$=8,满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=$\frac{4n+4}{n}$.
证明:(2)$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4n+4}{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$
=$\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}•\sqrt{n}}$=2($\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$)
∴数列{$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$}的前n项和:
Sn=2($\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$)
=2(1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$)
=2-$\frac{2}{\sqrt{n+1}}$,
∴Sn<2.

点评 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和小于2的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.

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