【题目】在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,,平面,,,,且是的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得与所成的角为? 若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析. (Ⅱ) . (Ⅲ)不存在点;理由见解析.
【解析】
(Ⅰ)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,证明,即可证明平面.
(Ⅱ)根据平面的法向量,求得平面的一个法向量,利用向量的夹角公式即可求得二面角的值.
(Ⅲ)假设存在这样的P,设出P点坐标,根据向量的夹角关系求出P的坐标,根据P的位置即可判断出不存在.
(Ⅰ)证明:因为平面,,故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
由已知可得各点坐标为
,
设平面的一个法向量是
由 得
令,则
又因为 ,
所以,又平面,所以平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面的一个法向量是.
因为平面,所以
又因为,所以平面.
故是平面的一个法向量.
所以 ,又二面角为锐角,
故二面角的大小为
(Ⅲ)假设在线段上存在一点,使得与所成的角为
不妨设 ,则
所以
由题意得
化简得
解得
因为,所以无解
即在线段上不存在点,使得与所成的角为
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【题目】已知函数f(x)=x3+bx2+cx-1,当x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值.
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【题目】如图所示的几何体中,垂直于梯形所在的平面,为的中点,,四边形为矩形,线段交于点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使得与平面所成角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知为单位正方体,黑白两只蚂蚁从点出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”,白蚂蚁爬行的路线是,黑蚂蚁爬行的路线是,它们都遵循如下规则:所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数),设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两只蚂蚁的距离是______________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M: 及其上一点A(2,4)
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,o)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
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【题目】如图,已知椭圆的右焦点为,点分别是椭圆的上、下顶点,点是直线上的一个动点(与轴的交点除外),直线交椭圆于另一个点.
(1)当直线经过椭圆的右焦点时,求的面积;
(2)①记直线的斜率分别为,求证:为定值;
②求的取值范围.
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