Question

（2013•宁德模拟）已知二次函数f（x）=ax²+bx+1为偶函数，且f（-1）=-1．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间（-2，2）上单调递增，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f（-1）=-1，可得a值，进而可得函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间（-2，2）上单调递减，可得区间（-2，2）在对称轴的左侧，进而得到实数k的取值范围

解答：解：（I）∵二次函数f（x）=ax²+bx+1为偶函数，
故函数f（x）的图象关于y轴对称
即x=-

b

2a

=0，即b=0
又∵f（-1）=a+1=-1，即a=-2．
故f（x）=-2x²+1
（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2-k）x=-2x²+（2-k）x+1
故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=

2-k

4

为对称轴的抛物线
故函数g（x）在（-∞，

2-k

4

]上单调递增，
又∵函数g（x）在区间（-2，2）上单调递增，
∴

2-k

4

≥2
解得k≤-6
故实数k的取值范围为（-∞，-6]

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．