Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段BC₁上的动点，则下列判断错误的是（　　）

A．DB₁⊥平面ACD₁

B．BC₁∥平面ACD₁

C．BC₁⊥DB₁

D．三棱锥P-ACD₁的体积与P点位置有关

Answer 1

分析：连接BD，A₁D，利用三垂线定理能够证明DB₁⊥平面ACD₁；
由BC₁∥AD₁，BC₁?面ACD₁，AD₁?ACD₁，得到BC₁∥平面ACD₁；
由DB₁⊥平面ACD₁，知DB₁⊥AD₁，再由BC₁∥AD₁，知BC₁⊥DB₁；
由BC₁∥平面ACD₁，P为线段BC₁上的动点，知三棱锥P-ACD₁的体积为定值．

解答：解：连接BD，则BD⊥AC，
∵BB₁⊥面ABCD，∴DB₁⊥AC，
连接A₁D，则A₁D⊥AD₁，
∵A₁B₁⊥面ADD₁A₁，∴DB₁⊥AD₁，
∴DB₁⊥平面ACD₁，故A正确；
∵BC₁∥AD₁，BC₁?面ACD₁，AD₁?ACD₁，
∴BC₁∥平面ACD₁，故B正确；
∵DB₁⊥平面ACD₁，AD₁?平面ACD₁，
∴DB₁⊥AD₁，
∵BC₁∥AD₁，
∴BC₁⊥DB₁，故C正确；
∵BC₁∥平面ACD₁，P为线段BC₁上的动点，
∴三棱锥P-ACD₁的体积为定值，与P点位置无关，故D错误．
故选D．

点评：本题考查空间中直线与平面、直线与直线、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．