Question

7．若直线y=x+m与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1有两个公共点，则m的取值范围是（　　）

• A． （-5，5）
• B． （-2，2）
• C． （-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$）
• D． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△＞0，解出即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，得7x²+8mx+4m²-12=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=64m²-4×7（4m²-12）＞0，即-3m²+21＞0，
解得-$\sqrt{7}$＜m＜$\sqrt{7}$，
∴实数m的取值范围是，（-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$）．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数与方程思想，属于中档题．