Question

14．已知关于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）．
（1）若不等式的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，求实数k的值；
（2）若不等式的解集是{x|x≠$\frac{1}{k}$}，求实数k的值；
（3）若不等式的解集是实数集，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k的值；
（2）需要分类讨论，当k＞0时，开口向上，二次函数小于0总会要限定x范围的，不符合题意，当k＜0是，由题意得到△=0，解得即可，
（3）根据题意，得△≤0且k＞0，由此求出k的取值范围

解答 解：（1）∵不等式kx²-2x+6k＜0的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，
∴k＜0，且-3和-2是方程kx²-2x+6k=0的实数根，
由根与系数的关系，得；
（-3）+（-2）=$\frac{2}{k}$，
∴k=-$\frac{2}{5}$；
（2）由于k≠0，故可看作二次函数，y=kx²-2x+6k，
当k＞0时，开口向上，二次函数小于0总会要限定x范围的，不行；
当k＜0是，开口向下，∵kx²-2x+6k＜0，
∴△=4-24k²≤0，
∵不等式的解集是{x|x≠$\frac{1}{k}$}，
∴△=0，
解得k=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）当k=0时，不等式即x＞，满足不等式kx²-2x+6k＜0的解集为全体实数R．
当k＞0时，由二次函数的性质可得不满足kx²-2x+6k＜0的解集为全体实数R．
当k＜0时，得△＜0，即4-24k²＜0；
解得k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$
综上可得，实数a的取值范围是 k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的问题，是综合性题目．