【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,椭圆上一点
与椭圆右焦点的连线垂直于
轴.
(1)求椭圆的方程;
(2)与抛物线相切于第一象限的直线
,与椭圆
交于
,
两点,与
轴交于点
,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,求直线
斜率的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)因为轴,所以
点代入方程得:
,又
,可得方程
;(2)设切点为
,因为
,对
求导,
,所以切线斜率为
,所以切线方程为:
,与椭圆联立,写出韦达定理,可求出
的中点坐标
,进而写出中垂线的方程,得到
点坐标,根据
的坐标写出
用
表示,利用基本不等式放缩即可求得最小值,注意验证取等条件.
试题解析:解:(1)点
与椭圆右焦点的连线垂直于
轴,
,将
点坐标代入椭圆方程可得
.
又,联立可解得
,
,
所以椭圆的方程为.
(2)设切点坐标为,,则
.
整理,得,
.
设,
,
联立直线方程和椭圆方程可得,
的中点坐标为
,
的垂直平分线方程为
,令
,得
.
即,
.
,
,
当且仅当时取得等号.
直线
的斜率的最小值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
,
极坐标方程分别为
,
.
(Ⅰ)和
交点的极坐标;
(Ⅱ)直线的参数方程为
(
为参数),
与
轴的交点为
,且与
交于
,
两点,求
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某房屋开发公司根据市场调查,计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适
用房”三类商品房,每类房型中均有舒适和标准两种型号.某年产量如下表:
房型 | 特大套 | 大套 | 经济适用房 |
舒适 | 100 | 150 | |
标准 | 300 | 600 |
若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测,则必须抽取“特大套”套房10套, “大套”15套.
(1)求,
的值;
(2)在年终促销活动中,奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房,该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者.求至少有一套是舒适型套房的概率;
(3)今从“大套”类套房中抽取6套,进行各项指标综合评价,并打分如下:
现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取,规定抽到数9.6或9.7,抽取工作即停止.记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).在以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)直接写出直线、曲线
的直角坐标方程;
(2)设曲线上的点到直线
的距离为
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知点,圆
(I)在极坐标系中,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系,取相同的长度单位,求圆
的直角坐标方程;
(II)求点到圆
圆心的距离.
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