Question

椭圆C的左右焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0），长轴长为10，点A（1，1）是椭圆内一点，点P是椭圆上的动点，则PA+

5

3

PF₂的最小值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的a，b，c，以及离心率e，右准线方程，再由椭圆的第二定义，可得|PF₂|=ed=

3

5

d，则|PA|+

5

3

|PF₂|=|PA|+d，过A作AM垂直于l，垂足为M，则AM的长即为所求．

解答： 解：椭圆C的左右焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0），长轴长为10，
可得，a=5，c=3，b=4，
则离心率e=

c

a

=

3

5

．右准线l的方程为x=

25

3

，
由椭圆的第二定义，可得，e=

|PF2|

d

（d为P到右准线的距离），
则有|PF₂|=ed=

3

5

d，
则|PA|+

5

3

|PF₂|=|PA|+d，
过A作AM垂直于l，垂足为M，
即有|PA|+d≥|AM|=

25

3

-1=

22

3

．
即有最小值为

22

3

．
故答案为：

22

3

．

点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查离心率的运用，以及椭圆的定义的运用：到焦点的距离转化为到准线的距离，考查运算能力，属于中档题．