Question

【题目】已知数列{an}满足an+1=a ﹣nan+1，且a1=2．
（1）计算a2 ， a3 ， a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）求证：2nn≤a ＜3nn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知an+1=a ﹣nan+1，且a1=2．得到a2= ﹣a1+1=3，a3= ﹣2a2+1=4，a4= ﹣3a3+1=5；

由此猜测数列{an}的通项公式为an=n+1；

证明：①n=1，2，3，4显然成立；

②假设n=k时成立，即ak=k+1，则n=k+1时，ak+1= ﹣kak+1=（k+1）2﹣k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1；

所以n=k+1时，数列an=n+1也成立；

所以数列{an}的通项公式an=n+1对任意n∈N+都成立

（2）解：因为an=n+1，所以 =（n+1）n= ＞ =2nn；

构造函数f（x）=（1+ ）x，则f′（x）=（1+ ）xln（1+ ）（﹣ ）＜0，所以函数f（x）为减函数，又x≥1，所以f（x）≤f（1）=2＜3，所以 = ＜3，

即（n+1）n＜3nn；

所以2nn≤a ＜3nn

【解析】（1）由an+1=a ﹣nan+1，且a1=2，分别令 n=2，3，4即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可；（2）由（1）可得an=n+1，从而有 =（n+1）n ， 利用二项式定理展开式以及构造函数，利用单调性证明．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式和数学归纳法的定义，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法即可以解答此题．