对于定义域为的函数.如果同时满足以下三个条件: ①对任意的.总有,②,③若都有成立, 则称函数为函数．下面有三个命题: (1)若函数为函数.则,(2)函数是函数, (3)若函数为函数.假定存在.使得.且. 则, 其中真命题是．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的，总有；②；③若都有成立；

则称函数为函数．

下面有三个命题：

（1）若函数为函数，则；（2）函数是函数；

（3）若函数为函数，假定存在，使得，且，则；其中真命题是________．（填上所有真命题的序号）

【答案】

（1）（2）（3）．

【解析】

试题分析：由①得，由③令，得，故（1）正确．若，函数显然满足①②；对任意的满足条件的，，故③成立，所以（2）正确；对于（3），假设，设，由③对任意的满足条件的，都有成立，从而，这与矛盾，同理可证，若假设也推出矛盾，．

从而（3）也正确．

考点：1．新定义函数；2．函数的性质；3．反证法．

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对于定义域为的函数，若同时满足：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把函数（）叫做闭函数．

(1) 求闭函数符合条件②的区间；

(2) 若是闭函数，求实数的取值范围．

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（本题满分14分）定义：对于函数,.若对定义域内的恒成立,则称函数为函数.(1)请举出一个定义域为的函数,并说明理由;(2)对于定义域为的函数，求证：对于定义域内的任意正数，均有;

(3)对于值域的函数,求证：.

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对于定义域为的函数，若有常数M，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称M为函数f (x)的“均值”．
（1）判断1是否为函数≤≤的“均值”，请说明理由；
（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
（3）若函数是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．
说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分