【题目】已知数列满足,.
(Ⅰ)证明:是等比数列;
(Ⅱ)证明:数列中的任意三项不为等差数列;
(Ⅲ)证明:.
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
(3) 证明见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)由,得,即,又由,所以是首项为2,公比为的等比数列.
(Ⅱ)由(1)得数列的通项公式为,不妨设数列中存在三项,,为等差数列,化简得,进而得到,由于,所以上式左边是偶数,右边是奇数,得出矛盾.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,则,,又由当时,化简得到,即可利用等比数列的求和公式,即可作出证明.
详解:(Ⅰ)由,得,即,
故.
又,所以是首项为2,公比为的等比数列.
(Ⅱ)下面用反证法证明数列中的任意三项不为等差数列,
因为,因此数列的通项公式为.
不妨设数列中存在三项,,为等差数列,
又, ,
故,
所以数列中存在三项为等差数列,只能为成立.
即 ,
化简为,
两边同乘,得.
又由于,所以上式左边是偶数,右边是奇数,故上式不成立,导致矛盾.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知.
,,
因为当时,,所以.
于是
.
所以.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆相交于两点.
①若线段中点的横坐标为,求的值;
②在轴上是否存在点,使为定值?若是,求点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为( )
A. B. C. 2 D.
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【题目】已知f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4,2),
(1)求a的值.
(2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x),求g(x)的解析式及定义域.
(3)在(2)的条件下,求g(x)的单调减区间.
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【题目】已知二次函数的最小值是1,且.
(1)求函数的解析式;
(2)若,试求的最小值;
(3)若在区间上,的图像恒在的图像上方,试确定实数的取值范围.
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【题目】设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
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【题目】为了对2016年某校中考成绩进行分析,在60分以上的全体同学中随机抽出8位,他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95. 参考公式:相关系数 ,
回归直线方程是: ,其中 ,
参考数据: , , , .
(1)若规定85分以上为优秀,求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率;
(2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表:
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学分数x | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分数y | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
化学分数z | 67 | 72 | 76 | 80 | 84 | 87 | 90 | 92 |
①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度;
②求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01),当某同学的数学成绩为50分时,估计其物理、化学两科的得分.
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【题目】已知F2、F1是双曲线 =1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )
A.3
B.
C.2
D.
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【题目】某电脑公司有5名产品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如表:
推销员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
工作年限年 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
推销金额万元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;
判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
若第6名推销员的工作年限是11年,试估计他的年推销金额.
(参考数据,,
参考公式:线性回归方程中,,其中为样本平均数)
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