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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,直线与椭圆C交于AB两点,且

(1)求椭圆C的方程.

(2)不经过点的直线被圆截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,且直线与椭圆C交于DE两点,试判断的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.

【答案】(1)(2)的周长为定值为,详见解析

【解析】

(1)根据已知条件求出AB两点的坐标,再由和离心率为建立关于a,b,c的方程,从而得椭圆的方程;

(2)根据直线被圆所截得的弦长等于椭圆的长轴长得出k,m的关系,再将直线与椭圆的方程联立消去y,得到交点的横坐标的韦达定理表达式,分别求出,得出的周长为定值,得解.

(1)因为,所以,则,所以椭圆C的方程可化为

不妨令

易知

因为,所以,即

,所以

所以椭圆C的方程为

(2)由(1)知椭圆C的长轴长为,因为直线被圆截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,所以圆的圆心OO为坐标原点)到直线l的距离,所以,即

,联立方程,得整理得

所以,又

所以

所以

所以的周长是.

所以的周长为定值,为.

得解.

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