(Ⅰ)设
∴
………………………………2分
(Ⅱ)∵
c=2 ∴
b=2 ∴
,
由已知可得2
Sn=
an-
an2且
an≠1.……①,
当
n≥2时,2
Sn -1=
an-1-
an-12 ……②,
①-②得(
an+
an-1)(
an-
an-1+1)=0,∴
an=-
an-1 或
an=-
an-1 =-1,
当
n=1时,2
a1=
a1-
a12a1=-1,
若
an=-
an-1,则
a2=1与
an≠1矛盾.∴
an-
an-1=-1, ∴
an=-
n.………………4分
∴要证待证不等式,只要证
,
即证
,
只要证
,即证
.
考虑证不等式
(
x>0) **.……………………………………………6分
令
g(
x)=
x-ln(1+
x),
h(
x)=ln(
x+1)-
(
x>0) .
∴
g '(
x)=
,
h '(
x)=
,
∵
x>0, ∴
g '(
x)>0,
h '(
x)>0,∴
g(
x)、
h(
x)在(0, +∞)上都是增函数,
∴
g(
x)>
g(0)=0,
h(
x)>
h(0)=0,∴
x>0时,
.
令
则**式成立,∴
<
<
,……………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
bn=
,则
Tn=
.
在
中,令
n=1,2,3,……,2008,并将各式相加,
得
,
即
T2009-1<ln2009<
T2008.…………………………………………………………………12分