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对于函数,若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0f(x)的不动点.如果函数f(x)=有且仅有两个不动点0和2.
(Ⅰ)试求bc满足的关系式;
(Ⅱ)若c=2时,各项不为零的数列{an}满足4Sn·f()=1,
求证:
(Ⅲ)设bn=-Tn为数列{bn}的前n项和,求证:T2009-1<ln2009<T2008
同解析
(Ⅰ)设
 ………………………………2分
(Ⅱ)∵c=2   ∴b=2    ∴
由已知可得2Snanan2an≠1.……①,
n≥2时,2 Sn -1an-1an-12 ……②,
①-②得(anan-1)( anan-1+1)=0,∴an=-an-1  或 an=-an-1 =-1,
n=1时,2a1a1a12a1=-1,
an=-an-1,则a2=1与an≠1矛盾.∴anan-1=-1, ∴an=-n.………………4分
∴要证待证不等式,只要证
即证
只要证 ,即证
考虑证不等式(x>0) **.……………………………………………6分
g(x)=x-ln(1+x), h(x)=ln(x+1)-  (x>0) .
g '(x)=h '(x)=
x>0,  ∴g '(x)>0,  h '(x)>0,∴g(x)、h(x)在(0, +∞)上都是增函数,
g(x)>g(0)=0, h(x)>h(0)=0,∴x>0时,
则**式成立,∴,……………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn,则Tn
中,令n=1,2,3,……,2008,并将各式相加,

T2009-1<ln2009<T2008.…………………………………………………………………12分
练习册系列答案
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