Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．
（Ⅰ） 求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ） 判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅲ） 若f（x）=-$\frac{5}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据使得函数有意义的条件得到不等式解之即可；
（Ⅱ）根据奇偶函数的定义，判断f（-x）与f（x）的关系；
（Ⅲ）由f（x）=-$\frac{5}{3}$得到方程解之．

解答 解：（Ⅰ）由已知要使解析式有意义，则2^x-1≠0，解得x≠0，所以函数的定义域为{x|x≠0}…．（4分）
（Ⅱ）奇函数．因为f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}=\frac{{2}^{x}+1}{1-{2}^{x}}$=-f（x）；（10分）
（Ⅲ）由f（x）=-$\frac{5}{3}$，得到$\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}=-\frac{5}{3}$，∴${2^x}=\frac{1}{4}$，所以x=-2…．（14分）

点评 本题考查了求函数的定义域，判断函数的奇偶性．