Question

已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

，求：
（Ⅰ）若△ABC的面积S=

3

，求b+c的值．
（Ⅱ）求b+c的取值范围．
（III）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：根据平面向量的数量积运算法则计算

m

•

n

，再利用二倍角的余弦函数公式得到cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，
（Ⅰ）由求出A的度数求出sinA的值，根据△ABC的面积S=

3

，把sinA的值代入面积公式即可求出bc=4，然后根据A的度数求出cosA的值，由a的长，利用余弦定理表示出a²，配方后可得另外一个关于b与c关系式，记作②，把bc的值代入②即可求出b+c的值；
（Ⅱ）由第一问表示的关系式②配方得到的关系式，利用基本不等式即可求出b+c的最大值，然后再根据三角形的两边之和大于第三边可得b+c大于a，由a的值，即可得到b+c大于2

3

，进而得到b+c的范围；
（III）由第一问表示出的关系式②利用基本不等式求出bc的最大值，把bc的最大值及sinA的值代入三角形的面积公式即可求出面积的最大值．

解答：解：∵

m

•

n

=-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，∴-cosA=

1

2

，∴cosA=-

1

2

，∴A=120°，
（Ⅰ）∵S=

3

=

1

2

bc•sin120°，∴bc=4①，
又根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•（-

1

2

），
∴12=b²+c²+bc=（b+c）²-bc②，
由①②得：（b+c）²=16，∴b+c=4；
（Ⅱ）由②得：12=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
而bc≤(

b+c

2

)2（b=c时，取“=”），
∴（b+c）²-

(b+c)

4

2≤12，
∴（b+c）²≤16，
∴b+c≤4，
而三角形的两边之和大于第三边，
于是有2

3

＜b+c≤4；
（III）由②得：12=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc（b=c时，取“=”），
∴bc≤4，
∴S_△ABC=

1

2

bc•sin120°≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，
∴S_max=

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，以及三角形的面积公式，运用平面向量的数量积运算及三角函数的恒等变形求出A的度数是本题的突破点，熟练掌握余弦定理、基本不等式及三角形的面积公式是解本题的关键．