Question

【题目】已知函数f（x）= +lnx﹣3有两个零点x1 ， x2（x1＜x2） （Ⅰ）求证：0＜a＜e2
（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）= ，
①a≤0时，f′（x）≥0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
不可能有2个零点；
②a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；
f（x）的最小值是f（a）=lna﹣2，
由题意得：有f（a）＜0，则0＜a＜e2；
（Ⅱ）要证x1+x2＞2a，只要证x2＞2a﹣x1 ，
易知x2＞a，2a﹣x1＞a，
而f（x）在区间（a，+∞）递增，
∴只要证明f（x2）＞f（2a﹣x1），
即证f（x2）＞f（2a﹣x1），
设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），
则g（a）=0，且区间（0，a）上，
g′（x）=f′（x）+f′（2a﹣x）= ＜0，
即g（x）在（0，a）递减，
∴g（x1）＞g（a）=0，
而g（x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，
∴f（x2）＞f（2a﹣x1）成立，
∴x1+x2＞2a．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．