Question

已知抛物线C的方程为y²=2x，焦点为F，过抛物线C的准线与x轴的交点的直线为l。
（1）若直线l与抛物线C交于A、B两点，且|FA|=2|FB|，求k的值；
（2）设点P是抛物线C上的动点，点R、N在y轴上，圆（x- 1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN面积的最小值。

Answer 1

解：（1）由题意可知，，准线为
设直线l为
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由|FA|=2|FB|，得
即
由
得
故
解由①②③构成的方程组得x₁=1，
又由Δ=（k²-2）²-k⁴=4-4k²>0，得-1＜k＜1且k≠0，
故所求得的k值适合，
因此所求的k值为。
（2）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b>c，
∴直线PR的方程为（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
∵圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，
∴圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
即
化简得（x₀-2）b²+ 2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
由题意可知x₀>2，
所以b、c为方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两根
∴
∴
∴
当且仅当x₀=4时取等号，
所以△PRN面积的最小值为8。