Question

1．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$，代入tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，利用诱导公式、三角形内角和定理即可得出．
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）∵$\sqrt{3}tanA$•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$，∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}（tanAtanB-1）}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，
∴tan（π-C）=-$\sqrt{3}$，化为tanC=$\sqrt{3}$，∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=a²+b²-ab≥${a}^{2}+{b}^{2}-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，∴a²+b²≤8，当且仅当a=b是取等号．
又a²+b²＞4，
∴（a²+b²）∈（4，8]．

点评 本题考查了诱导公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．