Question

已知f（x）=lg（1+x）+alg（1-x）是奇函数．
（1）求f（x）的定义域
（2）求a的值；
（3）当k＞0时，解关于x的不等式f(x)≥lg

1+x

k

．

Answer 1

分析：（1）解不等式组

1+x＞0 1-x＞0

 可得-1＜x＜1．
（2）根据奇函数的定义可得 f（-x）+f（x）=0，故（1+a）lg（1-x）-（1+a）lg（1+x）=0 对定义域内的所有的x都成立，故1+a=0，解得a的值．
（3）f（x）=lg

1+x

1-x

，不等式即  lg

1+x

1-x

≥lg

1+x

k

，即

(x+1)[x-(1-k)]

x-1

≤0，各个因式的根分别为-1，1，1-k，由条件可得 1-k＜1．分0＜k＜2和k≥2两种情况，结合函数的定义域，用穿根法求得解集．

解答：解：（1）由

1+x＞0 1-x＞0

 可得-1＜x＜1，故f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）f（x）=lg（1+x）+alg（1-x），根据奇函数的定义可得 f（-x）+f（x）=0，
∴lg（1-x）+alg（1+x）+[lg（1+x）+alg（1-x）]=（1+a）lg（1-x）-（1+a）lg（1+x）=0 对定义域内的
所有的x都成立，故1+a=0，故a=-1．
（3）由以上可得 f（x）=lg

1+x

1-x

，不等式即  lg

1+x

1-x

≥lg

1+x

k

，∴

1+x

1-x

≥

1+x

k

＞0，
即

(x+1)[x-(1-k)]

x-1

≤0，各个因式的根分别为-1，1，1-k．∵k＞0，∴1-k＜1．
当0＜k＜2时，1-k＞-1，结合函数的定义域，用穿根法求得 1-k≤x＜1．
当k≥2时，1-k≤-1，结合函数的定义域，用穿根法求得-1＜x＜1．
综上，当0＜k＜2时，不等式的解集为[1-k，1）；当 k≥2时，不等式的解集为（-1，1）．

点评：本题考查对数函数的定义域，奇函数的定义，对数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，解不等式
 lg

1+x

1-x

≥lg

1+x

k

，是解题的难点．