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4.若函数f(x)=aex-x有两个零点,则实数a的取值范围是(0,$\frac{1}{e}$).

分析 对f(x)求导,讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性,得出函数y=f(x)有两个零点的等价条件,从而求出a的取值范围;

解答 解:∵f(x)=aex-x,∴f′(x)=aex-1;
下面分两种情况讨论:
①a≤0时,f′(x)<0在R上恒成立,∴f(x)在R上是减函数,不合题意;
②a>0时,由f′(x)=0,得x=-lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

x(-∞,-lna)-lna(-lna,+∞)
f′(x)-0+-
f(x)递减极小值-lna-1递增
∴f(x)的单调减区间是(-∞,-lna),增区间是(-lna,+∞);
∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:
(i)f(-lna)>0,(ii)存在s1∈(-∞,-lna),满足f(s1)<0,(iii)存在s2∈(-lna,+∞),满足f(s2)<0;
由f(-lna)>0,即-lna-1>0,解得0<a<e-1
取s1=0,满足s1∈(-∞,-lna),且f(s1)=-a<0,
取s2=$\frac{2}{a}$+ln$\frac{2}{a}$,满足s2∈(-lna,+∞),且f(s2)=($\frac{2}{a}$-e$\frac{2}{a}$)+(ln$\frac{2}{a}$-e$\frac{2}{a}$)<0;
∴a的取值范围是(0,e-1).
故答案为:(0,$\frac{1}{e}$).

点评 本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与零点问题,也考查了函数思想、化归思想和分析问题、解决问题的能力.

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