Question

已知实数x、y满足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，则实数a的最小值是

9

5

．

Answer 1

分析：确定约束条件的平面区域，求得与原点连线的斜率的范围，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可得到结论．

解答：解：实数x、y满足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），(

5

3

，

10

3

)
与原点连线的斜率分别为4，2，∴

y

x

∈[2，4]
a（x²+y²）≥（x+y）²等价于a≥1+

2

y x + x y

∵

y

x

在[2，4]上单调增
∴

5

2

≤

y

x

+

x

y

≤4+

1

4

=

17

4

∴a≥1+

4

5

=

9

5

∴实数a的最小值是

9

5

故答案为：

9

5

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．