Question

【题目】已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）= ，且f（e）=
（Ⅰ）求f（x）的表达式
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e2]上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由xf′（x）+2f（x）= x2f′（x）+2xf（x）=lnx（x2f（x））′=lnx，
设x2f（x）=xlnx﹣x+c，
∵f（e）= ，故c= ，
∴x2f（x）=xlnx﹣x+ ，
∴f（x）= ﹣ + （x＞0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）= ，
令h（x）=2x﹣xlnx﹣e，则h′（x）=1﹣lnx，
故h（x）在（0，e）递增，（e，+∞）递减，
而h（e）=0，故h（x）≤0，即f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）为减，f（x）在[1，e2]递减，
故f（x）max=f（1）= ﹣1，f（x）min=f（e2）= ．
【解析】（Ⅰ）得到（x2f（x））′=lnx，设x2f（x）=xlnx﹣x+c，根据f（e）= ，求出c的值，从而求出f（x）的解析式；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．