Question

已知椭圆C的左右顶点A₁，A₂恰好是双曲线

x 2

3

-y ²=1的左右焦点，点P（1，

3

2

）在椭圆上．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若线段MN的垂直平分线恒过定点B（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）求出双曲线的焦点，即为椭圆的a=2，代入点P，解得b=1，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由垂直平分线的定义结合斜率公式即可得到方程，解不等式即可得到m的范围．

解答： 解：（I）双曲线

x2

3

+y²=1的左右焦点为（±2，0），
即A₁，A₂的坐标分别为（-2，0），（2，0），
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则a=2，
将P（1，

3

2

）代入

x2

4

+

y2

b2

=1，得b=1，
则椭圆C的标准方程为

x2

4

+y²=1；
（Ⅱ）由

y=kx+m x2+4y2=4

，消去y，得
（4k²+1）x²+8mkx+4（m²-1）=0（*）
∵直线l与椭圆交于不同两点，
∴△＞0，即m²＜4k²+1．①
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个实数解，
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，
∴线段MN的中点为Q（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），
又∵线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），
∴AQ⊥MN，
即-

m+4k2+1

4km

=-

1

k

，即3m=4k²+1（k≠0）②
由①，②得m²＜3m，0＜m＜3，又由②得m＞

1

3

，
∴实数m的取值范围是（

1

3

，3）．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．