Question

【题目】已知集合A=a1 ， a2 ， a3 ， …，an ， 其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n ， 求证： ；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．
由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．
（Ⅱ）证明：因为ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有 个值，所以 ．
又集合A=2，4，8，，2n ， 任取ai+aj ， ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al ，
即ai+aj≠ak+al ． 当j=l，i≠k时，ai+aj≠ak+al ．
因此，当且仅当i=k，j=l时，ai+aj=ak+al ．
即所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以 ．
（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．
不妨设a1＜a2＜a3＜…＜an ， 可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an﹣1+an ，
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．
事实上，设a1 ， a2 ， a3 ， ，an成等差数列，
考虑ai+aj（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，
当i+j≤n时，ai+aj=a1+ai+j﹣1；
当i+j＞n时，ai+aj=ai+j﹣n+an；
因此每个和ai+aj（1≤i＜j≤n）等于a1+ak（2≤k≤n）中的一个，
或者等于al+an（2≤l≤n﹣1）中的一个．
所以对这样的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3
【解析】（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；（Ⅱ）先由ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有 个值，可得 ；再利用定义推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜＜an ， 所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an﹣1+an ． 由此即可证明l（A）的最小值2n﹣3．