Question

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx）（ω＞0），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=

m

•

n

+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为

3π

2

，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，二倍角公式，化简函数f（x）的解析式为 2sin（2ωx+

π

6

）+t，根据
周期性和最小值，求出ω 和 t 的值，即得函数的解析式为f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1，由2kπ-

π

2

≤

2

3

x+

π

6

≤ 2kπ+

π

2

，求得x的范围，就是f（x）的增区间．
（2）据f（C）=1，求得C=

π

2

，A+B=

π

2

，再由 2sin²B=cos B+cos（A-C），可得 1-sin²A=sinA，再由sinA＞0
求得sinA 的值．

解答：解：（1）函数f（x）=

m

•

n

+t=cos2ωx+

3

sin2ωx+t=2sin（2ωx+

π

6

）+t，
由

3π

2

=

1

2

T=

1

2

•

2π

2ω

=

π

2ω

，可得ω=

1

3

，∴f（x）=2sin(

2

3

x+

π

6

)+ t．
当x∈[0，π]时，

π

6

≤ 

2

3

x+

π

6

≤

5π

6

，
函数f（x）的最小值为1+t=0，∴t=-1，∴f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1．
由 2kπ-

π

2

≤

2

3

x+

π

6

≤ 2kπ+

π

2

，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+

π

2

，
故f（x）的增区间为[3kπ-π，3kπ+

π

2

]，k∈z．
（2）∵f（C）=1=2sin（

2C

3

+

π

6

 ）-1，∴sin（

2C

3

+

π

6

）=1，由 0＜C＜π 可得，
 

π

6

＜

2C

3

+

π

6

＜

5π

6

，∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

，∴C=

π

2

，A+B=

π

2

． 
又 2sin²B=cos B+cos（A-C），∴2sin2(

π

2

-A)=cos（

π

2

-A）+cos（A-

π

2

），
∴2cos²A=2sinA，即 1-sin²A=sinA，再由sinA＞0，求得sinA=

-1+ 5

2

．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，二倍角公式，两角和正弦公式，正弦函数的单调性，定义域和值域，根据
三角函数的值求角，求出函数f（x）的 解析式，是解题的关键，属于中档题．