Question

（2010•唐山三模）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2

3

的菱形，∠BAD=60°，侧面VAD⊥底面ABCD，VA=VD，E为AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）当直线VB与平面ABCD所成的角为30°时，求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BD．证明AD⊥VE，AD⊥BE，通过VE∩BE=E，推出AD⊥平面VBE．利用BC∥AD，BC⊥平面VBE，然后证明平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）分别以EB、ED、EV为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出C，D，V的坐标，利用

m

•

DV

=

m

•

DC

=0，推出平面VCD的法向量

m

=(x，y，z)，求出平面VBE的法向量

n

=（0，1，0），利用cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m ||  n |

，求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接BD．
由已知，侧面VAD和△ABD，VA=VD，是以AD为公共底边的等腰三角形，
E为AD的中点，∴AD⊥VE，AD⊥BE，
又VE∩BE=E，∴AD⊥平面VBE．
∵BC∥AD，∴BC⊥平面VBE，
又BC?平面VBC，
∴平面VBE⊥平面VBC．
（Ⅱ）∵侧面VAD⊥底面ABCD，∴VE⊥底面ABCD，
当直线VB与平面ABCD所成的角为30°，即∠VBE=30°，
由已知，BE=3，BC=2

3

，DE=

3

，VE=BEtan30°=

3

．
分别以EB、ED、EV为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（3，2

3

，0），D（0，

3

，0），V（0，0，

3

）．
设

m

=(x，y，z)为平面VCD的法向量，则

m

•

DC

=

m

•

DV

=0，
∵

DC

=(3，

3

，0)，

DV

=(0，-

3

，

3

 )，
∴

3x+ 3 y=0 - 3 y+ 3 z=0

，取

m

=(-1，

3

，

3

)，
又

n

=（0，1，0）为平面VBE的法向量，
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m ||  n |

=

3

(-1)2+( 3 )2+( 3 )2 • 1

=

3

7

=

21

7

．
所以面VBE与面VCD所成锐二面角的大小为arccos

21

7

．

点评：本题是中档题，考查平面与平面垂直的证明方法，平面与所成二面角的大小的向量求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．