Question

设F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，A（a，b），P是双曲线右支上的动点．若|PF|+|PA|的最小值为3a，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  10

  -1
• B、1+

  10

• C、

  1+ 3

  2

• D、

  1+ 10

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得|PF|-|PF′|=2a，而|PA|+|PF′|≥|AF′|=

(a-c)2+b2

，两式相加，利用|PF|+|PA|的最小值为3a，求得答案．

解答： 解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（c，0），
∴由双曲线性质|PF|-|PF′|=2a
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=

(a-c)2+b2

两式相加得|PF|+|PA|≥2a+

(a-c)2+b2

，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立，
∵|PF|+|PA|的最小值为3a，
∴2a+

(a-c)2+b2

=3a，
∴

(a-c)2+b2

=a，
∴2e²-2e-1=0，
∵e＞1，
∴e=

1+ 3

2

．

点评：本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．