分析 (1)推导出AC⊥PB,AC⊥CB,从而AC⊥BE,又BE⊥PC,由此能证明BE⊥平面PAC.
(2)以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能证明直线AB与平面BEF所成角的正弦值.
解答 证明:(1)∵PB⊥底面ABC,且AC?底面ABC,∴AC⊥PB,…(1分)
由∠BCA=90°,得AC⊥CB,…(2分)
又∵PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC,…(3分)
∵BE?平面PBC,∴AC⊥BE,…(4分)
∵PB=BC,E为PC中点,∴BE⊥PC,…(5分)
∵PC∩AC=C,BE⊥平面PAC.…(6分)
解:(2)如图,以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系.
则C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),…(7分)
$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{BP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$=($\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}$).…(8分)
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z).
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=x+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,则得$\overrightarrow{m}$=(1,1,-1).…(10分)
$\overrightarrow{AB}=(-2,-2,0)$,
$cos\left?{\overrightarrow{AB},\overrightarrow m}\right>=\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow m}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow m}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,
∴$sinα=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,
∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.…(12分)
点评 本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-$\sqrt{2}$,-1) | B. | (-∞,-$\frac{1}{2}$) | C. | (-$\sqrt{2}$,-$\frac{1}{2}$) | D. | (-∞,-1) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (x-2)2+(y-$\frac{3}{2}$)2=$\frac{5}{4}$ | B. | (x+2)2+(y-$\frac{3}{2}$)2=$\frac{5}{4}$ | C. | (x+2)2+(y+$\frac{3}{2}$)2=$\frac{5}{4}$ | D. | (x-2)2+(y+$\frac{3}{2}$)2=$\frac{5}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | B. | $\frac{5\sqrt{3}}{4}$ | C. | $\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 9 |
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