Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=an²+bn+1（a，b为常数，n∈N^*）
（1）如果{a_n}为等差数列，求a，b的值；
（2）如果{a_n}为单调递增数列，求a+b的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=（2n+1）a+b对n∈N^*成立，由此能求出a=0，b=2．
（2）由已知得a_n+2-a_n=（2n+1）a+b对n∈N^*成立，当n为奇数，且n≥3时，由累加法得a_n=[3+7+…+（2n-3）]a+

n-1

2

b=

n(n-1)

2

a+

n-1

2

b+1，当n为偶数，且n≥4时，由累加法能求出a+b的取值范围是（1，+∞）．

解答： 解：（1）∵{a_n}为等差数列，设其公差为d，
由a_n+a_n+1=an²+bn+1，得a_n+1+a_n+2=a（n+1）²+b（n+1）+1，
两式相减，得a_n+1-a_n=（2n+1）a+b对n∈N^*成立，
∴a=0，∴2d=b，
又a₁+a₂=1+1+d=2+d=b+1，
∴d=1，b=2，
∴a=0，b=2．
（2）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=an²+bn+1（a，b为常数，n∈N^*），
∴a_n+2-a_n=（2n+1）a+b对n∈N^*成立，
当n为奇数，且n≥3时，
a₃-a₁=3a+b，
a₅-a₃=7a+b，
…
a_n-a_n+2=（2n-3）a+b，
把这

n-1

2

个式子的左右两都相加，得到：
a_n-a₁=[3+7+…+（2n-3）]a+

n-1

2

b，
化简，得a_n=[3+7+…+（2n-3）]a+

n-1

2

b
=

n(n-1)

2

a+

n-1

2

b+1，
且当n=1时，a₁=1满足上式．
同理，当n为偶数，且n≥4时，
a₄-a₂=5a+b，
a₆-a₄=9a+b，
…
a_n-a_n-2=（2n-3）a+b，
把这

n

2

-1个式子的左右两边分别相加，
得到an-a2=[5+9+…+(2n-3)]a+(

n

2

-1)b，
化简，得a_n=[5+9+…+（2n-3）a+（

n

2

-1）b+（a+b），
即a_n=

n(n-1)

2

a+

n

2

b，且当n=2时，a₂=a+b满足上式，
∴a_n=

n(n-1) 2 a+ n-1 2 b+1，n为奇数 n(n-1) 2 a+ n 2 n，n为偶数

，
∵{a_n}为单调递增数列，∴a_n＜a_n+1，
当n为奇数时，∵a_n＜a_n+1，即

n(n-1)

2

a+

n-1

2

b+1＜

(n+1)n

2

a+

n+1

2

b，
∴na+b-1＞0，
∴b＞1-na，
当n为偶数时，∵a_n＜a_n+1，即

n(n-1)

2

a+

n

2

b＜

(n+1)n

2

a+

n

2

b+1，
∴na+1＞0，即a＞-

1

n

，
∴a≥0，综上a+b的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查{a_n}为等差数列，a，b的值的求法，考查{a_n}为单调递增数列时，a+b的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．