Question

13．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+4sinxcosx]+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）令g（x）=af（x）+b，若函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域为[-1.1]，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简解析式为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，利用周期公式即可计算得解．
（2）由范围x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函数的性质可求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域，分类讨论，解方程组即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+4sinxcosx]+1
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x+2sin2x]+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，…（3分）
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．                                           …（4分）
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域为[$\frac{1}{2}$，2]，…（6分）
∵g（x）=af（x）+b，
∴①当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=1}\\{\frac{1}{2}a+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴a+b=-$\frac{1}{3}$，…（8分）
②当a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=-1}\\{\frac{1}{2}a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴a+b=$\frac{1}{3}$．   …（10分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式及正弦函数的图象和性质的应用，考查了方程思想和转化思想的应用，属于中档题．