Question

【题目】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ， 满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N* ， 且a2 ， a5 ， a14构成等比数列．
（1）证明：a2= ；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时， ，

∵

（2）解：当n≥2时，满足 ，且 ，

∴ ，

∴ ，

∵an＞0，∴an+1=an+2，

∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．

∵a2，a5，a14构成等比数列，∴ ， ，解得a2=3，

由（1）可知， ，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，

∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．

∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1

（3）解：由（2）可得式 = ．

∴

【解析】（1）对于 ，令n=1即可证明；（2）利用 ，且 ，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得 = ．利用“裂项求和”即可证明．