Question

（2012•淄博二模）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1，则方程f（x）-log₂（x+2）=0的实数根的个数为

4

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Answer 1

分析：由题意可得出函数是周期为4的偶函数且x∈[-2，2]时，f（x）=2^|x|-1，由此可作出f（x）在实数集上的图象，又方程f（x）-log₂（x+2）=0的实数根的个数即两函数y=f（x）与y=log₂（x+2）的图象的交点个数，由此将方程根的个数问题转化为两函数图象交点个数的问题，作图即可得出答案

解答：解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1
∴x∈[-2，2]时，f（x）=2^|x|-1
又对任意的x∈R，都有f（x）=f（x+4），故周期是4
方程f（x）-log₂（x+2）=0的实数根的个数即两函数y=f（x）与y=log₂（x+2）的图象的交点个数
如图，由图知，两函数有四个交点
即方程f（x）-log₂（x+2）=0的实数根的个数为4
故答案为4

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，函数的周期性与偶函数的性质，解题的关键是把问题转化为图象问题解决，以形助数是函数类问题的常用方法，学习时要体会总结经验与规律