Question

设数列{a_n}，{b_n}的各项均为正数，若对任意的正整数n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，且b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（Ⅰ）求证数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）如果a₁=1，b₁=，比较2ⁿ与2a_n的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，得2b_n²=a_n+a_n+1，①
a_n+1²=b_n²b_n+1²，②（1分）
因为a_n＞0，b_n＞0，所以由式②得a_n+1=b_nb_n+1，
从而当n≥2时，a_n=b_n-1b_n，
代入式①得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，（3分）
故当n≥2时，2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2），
∴数列b_n是等差数列．（4分）
（II）由及式①、②易得，
因此b_n 的公差 ，
从而，（5分）
得，
所以当n≥2时，，③
又a₁=1也适合式③，
∴．（6分）
设P=2ⁿ，Q=2n-n（n+1），
当n=1时，P=Q，当n=2，3，4时，P＜Q
当n=5时，P＞Q，当n=6时，P＞Q
由此猜想当n≥5时，P＞Q（8分）
以下用数学归纳法证明．
（1）当N=5时，P＞Q显然成立，（9分）
（2）假设当n=k（k≥5）时，
P＞Q成立，即2ⁿ＞k（k+1）-k²+k成立，
则当n=k+1时，P=2^K+1=2•2^k＞2k²+2k
=（k²+2k+1）+（k+1）+（k²-k-2）=（k+1）²+（k+1）+（k+1）（k-2）
∵k≥5，∴（k+1）（k-2）＞0即P=2^k+1＞（k+1）²+（k+1）成立．
故当n=k+1时，P＞Q成立．
由（1）、（2）得，当n≥5时，
P＞Q成立．（11分）
因此，当n=1时，2ⁿ=2a_n，
当n=2，3，4时，2ⁿ＜2a_n，
当n≥5时，2ⁿ＞2a_n．（12分）
分析：（Ⅰ）利用已知条件可得数列{b_n}与{a_n}的递推关系，代入2b_n²=a_n+a_n+1整理，然后利用等差中项的证明数列{b_n}为等差数列
（Ⅱ）结合（1）求出数列{b_n}的公差d，进一步求得b_n，然后利用递推公式a_n=b_n-1．b_n求出a_n，通过n的特殊值猜想2ⁿ与2a_n之间的大小关系，利用数学归纳法进行证明
点评：（1）利用递推公式进行构造，等差中项证明数列为等差数列：2a_n=a_n-1+a_n+1?数列{a_n}为等差数列
（2）利用数学归纳法证明数学命题或不等式时，要注意由归纳假设n=k成立推到n=k+1是数学归纳法的关键．