Question

3．设函数f（x）=min{x²-1，x+1，-x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-1，0）
• B． [-2，0]
• C． （-∞，-2）∪（-1，0）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 在同一坐标系内画出三个函数y=1-x，y=x+1，y=x²-1的图象，以此作出函数f（x）图象，观察最小值的位置，通过图象平移，可得a＜-1，且（a+2）²-1＞a+1，①或-（a+2）+1＞a²-1，②，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：f（x）=min{x²-1，x+1，-x+1}
=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＜-1}\\{{x}^{2}-1，-1≤x≤1}\\{-x+1，x＞1}\end{array}\right.$，
作出f（x）的图象，可得
f（a+2）＞f（a）变为
a＜-1，且（a+2）²-1＞a+1，①
或-（a+2）+1＞a²-1，②
①变为a²+3a+2＞0，解得a＜-2；
②变为a²+a＜0，解得-1＜a＜0．
则实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（-1，0）．
故选C．

点评 本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出f（x）的简图．