Question

2．已知关于x的方程log₂（x+24）-log₄x²=a在区间（3，8）内有解，则a的取值范围是a∈（2，log₂9）．

Answer 1

分析 关于x的方程log₂（x+24）-log₄x²=a在区间（3，8）内有解，即方程log₂$\frac{x+24}{x}$=log₂（1+$\frac{24}{x}$）=a在区间（3，8）内有解，令f（x）=log₂$\frac{x+24}{x}$，分析f（x）在区间（3，8）上的值域，可得答案．

解答 解：关于x的方程log₂（x+24）-log₄x²=a在区间（3，8）内有解，
即方程log₂（x+24）-log₂x=a在区间（3，8）内有解，
即方程log₂$\frac{x+24}{x}$=log₂（1+$\frac{24}{x}$）=a在区间（3，8）内有解，
令f（x）=log₂$\frac{x+24}{x}$=log₂（1+$\frac{24}{x}$），则f（x）在区间（3，8）上为减函数，
故f（x）∈（2，log₂9），
故a∈（2，log₂9），
故答案为：a∈（2，log₂9）

点评 本题考查的知识点是函数零点与方程的根，转化思想，难度中档．