Question

已知A、B、C为直线l上三点，且AB=BC=a；P为l外一点，且∠APB=90°，∠BPC=45°，求
（1）∠PBA的正弦、余弦、正切；
（2）PB的长；
（3）P点到l的距离．

Answer 1

分析：（1）过P点作PD⊥AB交AB于点D，过点B作BE∥AP交PC于点E依题意可知∠PBE=90°，∠PEB=45°，PB=BE，再根据△CPA∽△CEB相应边的比相等，可求的

PA

BE

，由于PB=BE，进而可得

PA

PB

的值，求得tan∠PBA，再根据同角三角函数关系可求得cos∠PBA和sin∠PBA．
（2）在直角三角形APB中，根据PB=AB•cos∠PBA求得PB．
（3）P点到l的距离即为图中PD的长度，在直角三角形PDB中，根据PD=PB•sin∠PBA，求得PD的长度．

解答：解：过P点作PD⊥AB交AB于点D（如图）
（1）过点B作BE∥AP交PC于点E
则∠PBE=90°，∠PEB=45°，PB=BE．
∵△CPA∽△CEB，
∴

PA

BE

=

2a

a

=2，
因PB=BE，
∴

PA

PB

=2，tan∠PBA=2．
又∵1+tg²∠PBA=sec²∠PBA，∠PBA为锐角，
∴sec∠PBA=

1+tg2∠PBA

=

5

，cos∠PBA=

1

5

=

5

5

，sin∠PBA=tan∠PBA•cos∠PBA=

2 5

5

．

（2）PB=AB•cos∠PBA=

5

5

a．
（3）∵PB=

5

5

a，sin∠PBA=

2 5

5

，
∴PD=PB•sin∠PBA=

2

5

a．
综上，所求为
（1）∠PBA的正弦、余弦、正切分别是

2

5

5

，

1

5

5

，2；
（2）PB的长为

1

5

5

a；
（3）P点到l的距离为

2

5

a．

点评：本题主要考查三角形中的几何计算．要充分利用好三角形中的特殊角如90°，60°，45°等利用三角函数关系来解决问题．